Visa källa för Logaritm

{{Matematiska operationer}}
[[File:3-log-plot.png|thumb|upright=1.2|Logaritmfunktioner, ritade för 3 olika baser.
Samtliga grafer avbildar punkten (1,&nbsp;0) då alla tal upphöjda till 0 är lika med 1 och dessutom punkten (''b'',&nbsp;1) för basen ''b'', då ett tal upphöjt till 1 är lika med talet självt. Graferna har högergränsvärdet -∞ då x&nbsp;→&nbsp;0 från höger]]

'''Logaritmen''' är inom matematiken den inversa funktionen till [[potens|exponentiering]].  Logaritmen för ett tal ''a'' är den [[exponent]] ''x'' till vilket ett givet tal, med [[Bas (linjär algebra)|basen]] ''b'', måste upphöjas för att anta värdet ''a'':
:<math>\ a = b^x</math>
Logaritmer kan vara ett hjälpmedel, i synnerhet vid manuella beräkningar med stora antal av tal, genom att multiplikationer och divisioner kan omvandlas till additioner respektive subtraktioner.

Logaritmernas uppfinnare anses vara skotten [[John Napier]] (1600-talet).

== Reella logaritmen ==
För [[reella tal]] måste gälla att ''a'' > 0 och ''b'' > 0 för att logaritmen ska kunna beräknas. Logaritmen ''x'' kan anta godtyckliga värden. I uttrycket ''a''&nbsp;=&nbsp;''b''<sup>''x''</sup> kallas ''x'' logaritmen av ''a'' i basen ''b'' och skrivs
:<math>\ x = \log_b a\quad</math> där alltså <math>a,b \in \mathbb{R}</math> och <math>a,b > 0</math>

== Tiologaritmen eller briggska logaritmen ==
<!-- "10-logaritmen", "Briggska logaritmen", "Tiologaritm", "10-logaritm", "Tiologaritmen" omdirigerar till detta avsnitt -->
[[Fil:Log10.png|upright=1.2|mini|Tiologaritmen]]
Ett praktiskt val av logaritmbas vid användning av den decimala notationen är den briggska logaritmen (10-logaritmen utvecklad av [[Henry Briggs]]). Den briggska logaritmen för ett tal ''a'' är den exponent ''x'' till vilken 10 skall upphöjas för att bilda talet ''a'':
:<math>10^x = a\quad \Leftrightarrow\quad x = \log_{10}a</math>
Andra beteckningssätt för log<sub>10</sub> ''a'' är log ''a'' och lg ''a''.

== Naturliga logaritmen (''logaritmus naturalis'') ==
{{Fördjupning|Naturliga logaritmen}}
En speciell bas är [[e (tal)|e]] (Eulers tal). Beteckningen för log<sub>e</sub>&nbsp;''a'', den ''naturliga logaritmen'' av a, är ln&nbsp;''a''.

Detta ger sambanden
:<math> a = \mathrm{e}^x \Leftrightarrow x = \ln a.</math>

En viktig anledning till att denna logaritm används är att den är den inversa funktionen till [[exponentialfunktion]]en e<sup>''x''</sup>.

En intressant egenskap hos den naturliga logaritmfunktionen är att dess derivata är 1/''x'', vilket gör att den fyller ut en lucka bland de [[primitiv funktion|primitiva funktionerna]] till potensfunktioner:
:<math>\int x^n dx=</math><math>
\left\{\begin{matrix}\frac {x^{n+1}} {n+1} +C & \mbox{om }n\ne -1\\ \ln x+C& \mbox{om }n=-1 \end{matrix}\right.</math>

''n'' = -1 leder till division med noll, vilket är otillåtet. För varje tal nära -1 kommer "första primitiva funktionen" att vara godtyckligt nära ln&nbsp;''x''. Därför kan logaritmen ses som en kontinuerlig utvidgning av polynomen, ett faktum som även kan motiveras genom att betrakta vissa speciella gränsfall av interpolationspolynomen (kanske enklast via Newtons interpolationspolynom).

Se även [[e (tal)#Definition och värde|definitionen av talet e]].

== Komplexa logaritmen ==
Den [[funktion|flervärda]] komplexa logaritmen log definieras som [[urbild (matematik)|urbilden]] till [[exponentialfunktionen]], det vill säga
:<math>\log : \mathbb C \to 2^\mathbb C,\ z\mapsto \{w\in \mathbb C : \exp w = z\}</math>
Vilket också kan uttryckas som
:<math>\ \log z = \ln |z| + i*(arg(z) + n*2 \pi)</math>
där + innebär addition av vektormängder och arg är [[Argument (matematik)|argumentsfunktionen]]. Den komplexa logaritmen uppfyller de flesta räkneregler för den reella logaritmen; problem kan uppstå om exempelvis summan av två argument hamnar utanför grenen. Man kan studera en [[Gren (matematik)|gren]] av logaritmen, som då blir en [[envärd funktion]]. För principalgrenen Log används principalgrenen av argumentsfunktionen, dvs
:<math>\mathrm{Im}\ \mathrm{Log}\ z\in(-\pi,\pi)</math>.

== Diskreta logaritmen ==
På samma sätt som ovan kan man definiera en logaritm i en godtycklig ändlig [[kropp (algebra)|kropp]]. Det är då ett väldefinierat begrepp eftersom en kropp under multiplikation (andra kompositionsoperatorn) är isomorf med en cyklisk [[delgrupp]]. Som bas för logaritmen väljer man en [[generator (matematik)|generator]] för denna cykliska [[grupp (matematik)|grupp]]. Utvidgningen är helt analog med reella logaritmer. Skillnaden mellan reella logaritmer och diskreta logaritmer är att den diskreta logaritmen alltid blir ett [[heltal]]. I övrigt har diskreta och reella logaritmen likartade lagar och följer ungefärligen samma teori.

Till skillnad från vanliga (reella) logaritmer är det generellt sett svårt att hitta logaritmen för ett givet tal. Man kallar detta ''diskreta logaritmproblemet''. Faktum är att det är så svårt, att man använder denna svårighet för att konstruera säker kryptering. Poängen är att det är lätt att verifiera en föreslagen logaritm, men svårt att finna den. Metoden påminner om hur man i krypteringsalgoritmer utnyttjar problemet med finna primtalsfaktorisering av stora tal.

== Derivata ==
Derivatan av en logaritmfunktion
:<math> y = \log_b\,x </math>
är
:<math>\frac{dy}{dx} = \frac 1 {x \ln b}</math>
Speciellt är 
:<math>\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}</math>

==Identiteter==
*<math>\ \log_b a  = x \leftrightarrow b^x = a </math>

*<math>\ b^{\log_b a } = a </math>

*<math>\ a^x = \mathrm{e}^{x\ln a} </math>

*<math>\ \log_a(xy) = \log_a(x)\,+\,\log_a(y)</math>

*<math>\ \log{}(a^p) = p \log{}(a)</math>

*<math>\ \log_a \left(\frac{x}{y} \right) = \log_a(x)-\log_a(y)</math>

*<math>\ \log_a(x^p)=p\,\log_a(x)</math>

*<math>\ \log_a x=\frac {\log_b x}{\log_b a}=\frac{\ln x}{\ln a}</math>

*<math>\ \log{} (\sqrt[p]{a}) = {1 \over p} \log (a) </math>

== Exempel ==
Logaritmernas främsta ursprungliga nytta var att ersätta långa sekvenser av multiplikationer med mindre tidskrävande sekvenser av additioner. 

Antag att produkten 217&nbsp;·&nbsp;596 skall beräknas utan användande av multiplikation. Enligt logaritmlagarna är summan av faktorernas logaritmer lika med logaritmen för produkten:
:<math>\log a + \log b = \log ab \Rightarrow</math>
:<math>\log 217 + \log 596  = 2.33646 + 2.77525 = 5.11171</math>
Med hjälp av en tabell går det att bestämma vilket tal som har logaritmen 5.11171:
:<math>\log x = 5.11171\quad\Rightarrow\text{tabelluppslagning}\Rightarrow\quad x = 129332</math>

=== Exempel (reella logaritmen) ===
Logaritmerna kan användas för att lösa vissa ekvationer. Antag att ekvationen
:<math>7^x = 1234</math>
skall lösas med hjälp av logaritmer. Bilda 10-logaritmen av båda sidor:
:<math>\log 7^x = \log 1234</math>
Utnyttja en av logaritmlagarna:
:<math>x \cdot \log 7 = \log 1234</math>
Beräkna värdet av ''x'' på miniräknaren:
:<math>x = \cfrac{\log 1234}{\log 7} = 3.65794</math>

=== Exempel (diskreta logaritmen) ===
Det går att använda diskreta logaritmer för att lösa ekvationer i godtyckliga kroppar. Här visas hur man bestämmer diskreta logaritmer i en given kropp.

I exemplet kommer vi att betrakta [[Galoismodul|galoiskropp]]en av ordning 27, GF(3<sup>3</sup>). Den genereras av ett kubiskt irreducibelt polynom över ℤ<sub>3</sub> via [[Leopold Kronecker|Kroneckers]] konstruktion. Ett sådant irreducibelt polynom är {{nowrap|''x''<sup>3</sup> + 2''x'' + 1}} vilket inses genom att manuellt undersöka de möjliga rötterna. Därmed har vi en kropp
:<math>\mathbb{Z}_3[x]/<x^3+2x+1></math>
med 27 element som kommer att vara [[isomorf]] med GF(27). I den går det nu att beräkna diskreta logaritmer.

Låt oss här återge stegen vi tagit lite mer detaljerat. Vi har hittat ett irreducibelt polynom över ℤ<sub>3</sub>. Då kommer
:<math>\mathbb{Z}_3[x]/<x^3+2x+1></math>
att bli en kropp, som genereras av ett [[principalideal|principalt ideal]].

Detta förklaras genom att ℤ<sub>3</sub> är en kropp och därför är varje [[ideal (ringteori)|ideal]] i ℤ<sub>3</sub>[''x''] principalt och genom att polynomet {{nowrap|''x''<sup>3</sup> + 2''x'' + 1}} är irreducibelt. Därför är {{nowrap|< ''x''<sup>3</sup> + 2''x'' + 1 >}} ett maximalt ideal. Och därför är kvotringen
:<math>\mathbb{Z}_3[x]/<x^3+2x+1></math>
inte bara en kvotring, utan en kropp.

Låt oss ta reda på vad elementet/[[sidoklass]]en {{nowrap|''x''<sup>2</sup> + 1}} har som diskret logaritm. Genom att successivt beräkna potenser ''x''<sup>''n''</sup> där <math>n = 0, 1, \dots, 26</math> fås att första gången {{nowrap|''x''<sup>''n''</sup> {{=}} x<sup>2</sup> + 1}} är när ''n''&nbsp;=&nbsp;21:
: <math>\ n = 0 , \ x^{0} = 1</math>
: <math>\ n = 1 , \ x^{1} = x</math>
: <math>\ n = 2 , \ x^{2} = x^2</math>
: <math>\ n = 3 , \ x^{3} = x+2</math>
: <math>\ n = 4 , \ x^{4} = x^2+2x</math>
: <math>\ n = 5 , \ x^{5} = 2x^2+x+2</math>
: <math>\ n = 6 , \ x^{6} = x^2+x+1</math> 
: <math>\ \ldots</math>
: <math>\ n = 21 , \ x^{21} = x^2+1</math>
Därför är log<sub>''x''</sub>(''x''<sup>2</sup> + 1) = 21. Notera att det var nödvändigt att gå igenom ett stort antal exponenter ''n'' = 0, 1, … för att hitta den vi sökte. Det finns bättre algoritmer för att hitta diskreta logaritmen. Men även med dessa är det generellt sett en tidsödande process, eftersom man kan konstruera kroppar av mycket hög ordning.

== Antilogaritm ==
'''Antilogaritmen''' är ett annat namn för [[potens (matematik)|potens]]. Även om termen visserligen används är det ett inte helt lyckat bruk, eftersom ''potens'' är konventionen.

==Se även==
*[[Karakteristika]]
*[[Mantissa]]

==Externa länkar==
{{commons|Logarithm}}

{{Portallänk Matematik}}

{{auktoritetsdata}}

[[Kategori:Logaritmer| ]]
[[Kategori:Wikipedia:Basartiklar]]